Оглавление раздела:
1. Некоторые релевантные тематике семинара материалы (в основном, статьи).
2. Тривиум (допуск к экзамену и зачёту).
3. Колонка Сергея Акбарова.
4. Конспект лекций по спецкурсу за 2010/2011 учебный год.
5. Упражнения со спецкурсов.
6. Рекомендуемая литература.
7. Ссылки
Некоторые релевантные тематике семинара материалы:
- Представление решений эволюционных уравнений с оператором Владимирова интегралами Фейнмана по траекториям.
О.Г. Смолянов, Н.Н. Шамаров. ДАН, 2009, том 425, №5, с. 1-5. PDF, 125 Кб
- Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова.
О.Г. Смолянов, Н.Н. Шамаров. ДАН, 2008, том 420, №1, с. 4-6. PDF, 135 Кб
- Гамильтоновы интегралы Фейнмана для уравнений с оператором Владимирова.
О.Г. Смолянов, Н.Н. Шамаров. ДАН, 2010, том 431, №2, с. 170-174. PDF, 227 Кб
- Автореферат диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук.
А.С. Трушечкин. PDF, 227 Кб
- Об одной модели распределения ключей в квантовой криптографии.
И.В. Волович, А.С. Трушечкин. ДАН, 2005, том 404 №2, с. 1-4 PDF, 94 Кб
- О квантовых сжатых состояниях на отрезке и соотношениях неопределенностей для наноскопических систем.
И.В. Волович, А.С. Трушечкин. Труды математического института им. В.А. Стеклова, 2009, т. 265, с. 288-319 PDF, 356 Кб
- On standards and specifications in quantum cryptography.
A. S. Trushechkin, I. V. Volovich. International Journal of Quantum Information, Vol. 6, No. 2 (2008), pp. 347–367 PDF, 314 Кб
- Functional Classical Mechanics and Rational Numbers.
A. S. Trushechkin, I. V. Volovich. p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 2009, Vol. 1, No. 4, pp. 361–367. PDF, 487 Кб
- Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре.
С.С. Акбаров. S. S. Akbarov. “Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra”, Journal of Mathematical Sciences, 113(2):179-349, 2003. PDF, 1392 Кб
- Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы.
С.С. Акбаров. Фундаментальная и прикладная математика 2008, 14(1): 3-178.(Вариант статьи) PDF, 1341 Кб
- The group of quasisymmetric homeomorphisms of the circle and quantization of the universal Teichmuller space.
A.G.Sergeev. PDF, 259 Кб
- О динамике вырожденной квантовой системы
в пространстве функций, интегрируемых по конечно
аддитивной мере.
В.Ж. Сакбаев. ТРУДЫ МФТИ. — 2009. — Том 1, № 4 PDF, 551 Кб
- Stochastic properties of degenerated quantum systems.
V.Zh. Sakbaev. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics Vol. 13, No. 1 (2010) 65-85 PDF, 356 Кб
- О представлении линейных операторов в гильбертовом пространстве в виде конечных сумм произведений проекторов.
А.М. Бикчентаев. ДАН, 2003, том 393, №4, с. 1-4. PDF, 82 Кб
- Characterization of the Trace by Young’s Inequality.
A.M. Bikchentaev and O.E. Tikhonov. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 6, Issue 2, Article 49, 2005 PDF, 100 Кб
- Characterization of the Trace by Monotonicity
Inequalities.
A.M. Bikchentaev and O.E. Tikhonov. Linear Algebra and its Applications 422 (2007) 274–278 PDF, 105 Кб
- Перестановочность проекторов
и характеризация следа на алгебрах фон Неймана..
А.М. Бикчентаев. Математические заметки, Том 89, выпуск 4, апрель 2011. PDF, 503 Кб
К началу
Тривиум (допуск к экзамену и зачёту)
Допуск к экзамену и зачёту по курсу О. Г. Смолянова состоит в знании наизусть определений понятий, входящих в тривиум.
Если в ходе экзамена/зачёта выясняется, что экзаменуемый не может быстро и с первой попытки дать правильные определения входящих в тривиум понятий, то экзамен/зачёт немедленно прекращается. При этом экзамен/зачёт считается несданным, даже если экзаменуемый уже правильно ответил на другие вопросы экзаменатора или решил задачи.
Тривиум:
пространства:
C[a,b] — всех вещественных непрерывных на отрезке функций,
L2[a,b] — всех определённых на отрезке вещественных функций с интегрируемым по Лебегу квадратом,
l2 — всех последовательностей вещественных чисел со сходящимся рядом из квадратов модулей членов последовательности,
D(R) — всех финитных вещественных бесконечно-гладких функций на прямой,
S(R) — всех быстро убывающих вещественных бесконечно-гладких функций на прямой,
D'(R)=(D(R))' — всех обобщённых функций на прямой,
S'(R)=(S(R))' — всех обобщённых функций умеренного роста на прямой.
Всюду в этих определениях R — множество всех вещественных чисел.
Все перечисленные выше понятия являются классическими, их можно посмотреть практически в любом учебнике по функциональному анализу, например, в книгах:
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функции и функционального анализа. Скачать с narod.ru, DJVU, 5 Мб.
В. И. Богачёв, О. Г. Смолянов. Действительный и функциональный анализ.
А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу.
Кроме того, с указанными и не указанными выше определениями из общей топологии можно ознакомиться по конспекту "Общая топология" на сайте http://ivanremizov.ru в разделе "Книги и статьи". Там можно найти список стандартных обозначений и фактов теории множеств, краткий обзор простейших понятий теории метрических пространств. В конспекте имеются алфавитный указатель терминов и краткий список литературы.
Предполагается, что тривиум в полном объёме известен студенту третьего курса, сдавшему зимнюю сессию. Следует иметь в виду, что определения входящих в тривиум понятий отнюдь не представляют собой содержание курса О. Г. Смолянова. Они лишь являются той базой, без которой изложение и понимание курса представляется невозможным. Поэтому, если в ходе экзамена/зачёта выясняется, что экзаменуемый может быстро и с первой попытки дать правильные определения всех входящих в тривиум понятий, то экзамен/зачёт на основании лишь одного этого факта ещё не считается сданным.
К началу
Колонка Сергея Акбарова
Здесь помещены задачи по теории топологических векторных пространств, над которыми я прошу участников семинара подумать. Некоторые из них выглядят совсем простыми, поэтому не исключено, что ответы на них будут известны Олегу Георгиевичу или кому-то еще из участников. Более сложные могут быть темой для научной статьи в каком-нибудь журнале. Если кто-то заинтересуется или что-нибудь будет непонятно, то можно обратиться ко мне за разъяснениями по электронной почте: sergei.akbarov[at]gmail.com (Сергей Акбаров), я охотно поговорю с написавшим.
Список вопросов, а надеюсь, со временем можно будет редактировать, на сегодняшний же день он такой:
- Пусть $X$ -- полное локально выпуклое пространство, и $Y$ -- его
(незамкнутое) подпространство (с индуцированной из $X$ топологией).
Обозначим через $Y'$ подпространство в $X$, состоящее из пределов в $X$
всевозможных вполне ограниченных направленностей Коши из $Y$ (опять $Y'$
наделяется топологией, индуцированной из $X$). Не будет ли верно такое
предположение, что если во второй раз применить ту же самую операцию, теперь
уже к $Y'$, то полученное подпространство $Y''$ будет совпадать с $Y'$?
- В моих работах определяются две операции, которые каждому локально
выпуклому пространству $X$ ставят в соответствие два новых, так называемые
псевдопополнение $X^\triangledown$ и псевдонасыщение $X^\vartriangle$. Не
будет ли верно предположение, что эти две операции коммутируют? То есть что для
любого локально выпуклого пространства $X$ справедливо равенство
$$ (X^\triangledown)^\vartriangle=(X^\vartriangle)^\triangledown? $$
- В моих работах еще определяется так называемая операция насыщения, которая каждому локально выпуклому пространству $X$ ставит в соответствие некое
новое локально выпуклое пространство $X^\blacktriangle$, и эта операция оказывается двойственной к обычной операции пополнения, которая у меня обозначается
значком $X^\blacktriangledown$. Не будет ли верно, что насыщение $X^\blacktriangle$ любого полного пространства $X$ снова полно, и, двойственным образом,
что пополнение $X^\blacktriangledown$ любого насыщенного пространства $X$ снова насыщено?
- Пусть $X$ -- стереотипное пространство (например, можно считать его
просто банаховым, или вообще даже бесконечномерным гильбертовым
пространством, вопрос все равно остается существенно важным). Обозначим
через $L(X)$ пространство линейных непрерывных операторов из $X$ в $X$,
наделенное топологией равномерной сходимости на компактах в $X$ (в данном
случае это эквивалентно равномерной сходимости на вполне ограниченных
множествах в $X$). Не будет ли верным предположение, что пространство $L(X)$
должно быть псевдонасыщено? (То есть что если взять произвольное семейство
линейных непрерывных функционалов $\{ f_i; \ i\in I\}$ на $L(X)$,
равностепенно непрерывное на каждом компакте в $L(X)$, то оно окажется
равностепенно непрерывно на всем пространстве $L(X)$)?
- С последним вопросом тесно связан еще один вопрос: есть ли разница между обычным свойством аппроксимации для локально выпуклых пространств и свойством стереотипной аппроксимации в классе стереотипных пространств? Дело в том, что если стереотипное пространство $X$ обладает стереотипной аппроксимацией, то известно, что оно обладает и обычной аппроксимацией. Но верно ли наоборот (то есть следует ли из обычной аппроксимации стереотипная)? Это уже, можно сказать, много лет остается нерешеннной и важной проблемой теории.
К началу
Конспект лекций по спецкурсу за 2010/2011 учебный год
Конспект лекций по спецкурсу О. Г. Смолянова создаётся усилиями слушателей на благо их самих и всех желающих. Последнюю версию конспекта (в формате PDF и PostScript) всегда можно скачать отсюда.
Обновление текста выкладывается после каждой лекции, а также по мере правок. Если у Вас возникнут идеи по реорганизации текста или вы найдете ошибку, неточность или неясность, не стесняйтесь оставлять запись в соответствующем файле директории (см. ссылку выше). Кроме того, Виктор Дрёмов (главный по подготовке конспекта) сердечно приглашает всех желающих обсуждать конспект при личной встрече либо по одному из контактов:
электронная почта: victor.dremov@gmail.com
аккаунт Skype: victor.dremov
Приятного чтения! =)
К началу
Упражнения со спецкурсов
Они по мере возможности будут выкладываться здесь. Некоторые даже с решениями. Будет здорово, если найдутся энтузиасты, готовые посылать нам на почту тексты этих упражнений, с решениями и без.
1. О перестановке операций дифференцирования меры по направлению и взятия образа меры при отображении пространств. Сформулировано на спецкурсе 26 марта 2010 года в качестве леммы, необходимой для определения оператора Лапласа меры Фейнмана в пространстве непрерывных функций на отрезке.
Текст предоставил Виктор Дремов, большое спасибо!
К началу
Рекомендуемая литература
Список не полный, конечно, но с чего-то начинать надо. Большинство из этих книг можно найти в электронной библиотеке мехмата и в других популярных книгохранилищах. Для поиска книги обычно достаточно поискать её название любым поисковым сервером. Если найдётся энтузиаст, готовый сделать к книгам небольшие комментарии с указанием наиболее полезных глав, будет здорово.
Нам кажется, что понимать происходящее на лекциях и семинарах О. Г. Смолянова помогут указанные далее книги. Наиболее оптимальной представляется следующая схема работы: сначала прочитать оглавления всех книг, затем --- предметные указатели всех книг. Нужно сдержать себя и не погрузиться при этом в чтение по существу, иначе рискуете не закончить чтение оглавлений и предметных указателей. После этого, уже представляя, о чём в какой книге говорится, можно приступать к чтению. Кроме того, услышав на семинаре или лекции незнакомое слово, Вы сразу же будете знать, в какой книге посмотреть его значение.
Итак, список книг:
- А. Робертсон, В. Робертсон. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
(Начать знакомство с тематикой научной школы Смолянова стоит с этой книги. Фундаментальный учебник. Рекомендуется проработать полностью. --- И.Р.)
- О. Г. Смолянов. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. М.: МГУ, 1979.
(Типографское качество печати книги плохое. Книга представляет главным образом исторический интерес. Однако просмотреть стоит обязательно. --- И.Р.)
- О. Г. Смолянов, Е. Т. Шавгулидзе. Континуальные интегралы. М.: МГУ, 1990.
(Фундаментальный учебник. Рекомендуется проработать полностью. --- И.Р.)
- Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом простанстве. М.: Наука, 1966.
- Богачев В.И., Смолянов О.Г.
Действительный и функциональный анализ: университетский курс. РХД, 2009.
- Рид М., Саймон Б. — Методы современной математической физики. тома 1-4. М.: Мир, 1977-1982.
(Рекомендуется пролистать и затем использовать в качестве справочника. --- И.Р.)
И.Р. = Иван Ремизов
К началу
Ссылки
Oфициальный сайт МГУ им.Ломоносова.
Oфициальный сайт мехмата МГУ.
Официальный сайт кафедры ТФФА мехмата МГУ.
Старый официальный сайт кафедры ТФФА мехмата МГУ. Он не обновляется, но ссылки с него, вроде бы, живые.
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, официальный сайт.
Независимый Московский университет.
К началу
